【抛物线压轴题】等腰三角形存在性

【抛物线压轴题】等腰三角形存在性

已知两个固定点，需要找到一个移动点。

给定两个固定点A和B的坐标，找到移动点P，使得ΔABP是等腰三角形。通常，P点位于抛物线上或x轴、y轴或对称轴上。

例如：

这时我们不知道谁在顶角，也不知道谁在腰部，谁在底边，所以我们需要根据谁在顶角分为三种情况，即：

①A为顶点的顶点，则AB=AP【以A为圆心，AB的长度为半径画圆，求与x轴的交点P1、P2】；

②B为顶点的顶点，则BA=BP【以B为圆心，AB的长度为半径画圆，求与x轴的交点P3、P4】；

③P为顶点的顶点，则PA=PB【P在AB垂直平分线与x轴P5的交点处】。

这种方法称为“两圆一线”（几何法）；找到P点的位置如下图：

求P点坐标的方法：

假设点P(m,0)的坐标，可以借助两点之间的距离公式，或者勾股定理来求解。两点之间的距离公式如下：

教学黑板如下：

我们建议使用代数方法（即两点之间的距离公式）来求解。

让我们看看如何应用两个圆和一条线。请看下面的例子：

实施例1

(2016·江西) 图为一张长方形纸片ABCD。已知AB=8，AD=7，E为AB之上的点，AE=5。现在我们需要剪一张等腰三角形的纸（△AEP），使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长度为。

已知一个固定点，两个移动点

给定固定点A的坐标，找到移动点B和C，使得ΔABP是等腰三角形。通常，B点和C点在某一条直线上，并且坐标之间存在关系。

对于这类问题，我们可以利用两点之间的距离公式求各边的平方，然后分三种情况讨论相等性。它还可以借助几何特征来解决，例如等腰三角形、三条线合二为一以创建高度，以及构建直角三角形以查找坐标关系（可能使用三角函数和相似性）。比如下面的例子：。

实施例2

(2016·上海崇明县第二模型) 已知抛物线顶点为E(-1, 4)，经过A点(-3, 0)，与y轴相交于C点。 D就是抛物线上的这个A点，它的横坐标是m，-3＜m＜-1。 DK⊥x轴过D点，垂脚为K。DK分别与线段AE和AC相交于G点和H点。

(1)求出该抛物线的解析公式；

（2）验证：GH=HK；

(3)当△CGH为等腰三角形时，求m值。