立体几何----公式，定理，推论等基本知识点汇总

立体几何----公式，定理，推论等基本知识点汇总

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距离高考还有206天

一

柱、锥、台、球的结构特征

棱镜：

几何特征：两个底面是对应边平行的全等多边形；侧面均为平行四边形；侧边平行且相等；平行于底面的横截面是与底面全等的多边形。

评论：

1、直多角棱柱：侧边垂直于底面的棱柱

2、正多边形：底面为正多边形且侧边垂直于底面的棱柱。

金字塔：

几何特征：两边和底边都是三角形；平行于底面的横截面与底面相似，其相似比等于顶点到横截面的距离与高度之比的平方。

评论：

1、正多角锥：底面为正多边形且各边相等的多角锥。

2、正四面体：底边为等边三角形，边长等于底边长度的三棱锥。

棱镜：

几何特征：上下底为相似的平行多边形；侧面为梯形；侧边相交于原始金字塔的顶点。

圆柱：

定义：以长方形一侧的直线为轴旋转，其余三边旋转而成。

几何特征：底面为全等圆；母线与轴线平行；轴线垂直于基圆的半径；侧面展开图是一个矩形。

锥体：

定义：以一条直角边为旋转轴，旋转一周形成直角三角形。

几何特征：底面为圆形；母线相交于圆锥体的顶点；侧面展开图呈扇形。

圆桌会议：

定义：以直角梯形底边的垂线和腰部为旋转轴，旋转一周而成。

几何特征：上下底座为两个圆形；边母线相交于原圆锥的顶点；侧面展开图是圆弧。

领域：

定义：以半圆直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一圈形成的几何形状

几何特征：球体的横截面是圆形；球体上任意点到球心的距离等于半径。

二

圆柱、圆锥、圆锥体、球体的表面积和体积

表面积：

几何体的表面积：几何体所有面的面积之和

特殊几何形状的表面积公式：

注：c为底座周长，h为高度，h'为斜高，l为母线。

体积：

注：h为几何体的高度，S为底面积，S'为棱柱或圆台的表面积。

三

线、线、面之间的位置关系

立体几何的四个公理：

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则该直线上的所有点都在该平面内。

公理2：如果两个不重叠的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条公共直线穿过该点。

公理3：只有一个平面经过不在一条直线上的三点。

公理4：与同一条直线平行的两条直线平行。

线与线之间的位置关系：

相交、平行、不同曲面

评论：

直线角度范围为[0,π/2]

1. 求直线对边所成角度的方法：

(1).平移法：即平移一条或两条直线成一个角度，然后解三角形

(2).向量法：

评论：

两条面外直线所成角度的范围为(0,π/2]

2.证明不同曲面的直线垂直的方法

(1).通常用三垂直定理及其逆定理或线面垂直关系来证明

(2).向量法

线与面的位置关系：

直线在一个平面内、线与面平行、线与面相交

评论：

线平面的角度范围为[0,π/2]

1.判断直线是否平行于平面

(1)判定定理：直线平行且线与面平行。详情如下：

(2)面与面平行的性质：面与面平行意味着线与面平行，如下：

2.直线与平面平行的性质

(1)平行线和平面的性质：平行线和平面意味着平行的平行线，如下：

3.判断直线是否垂直于平面

(1) 直线和垂直于平面的平面的定义的逆应用如下：

(2)判定定理：从线垂直度到线平面垂直度，具体如下：

(3)线平行+线与面垂直，另一条线与面垂直，如下：

(4)面垂直性性质定理：面垂直导致线面垂直，如下：

(5)面平行度是一个性质：由面平行+线面垂直，推导出线与另一个面垂直，如下：

4.三垂线定理和逆定理

三垂线定理：

如果平面内的直线垂直于斜线在平面上的投影，则它也垂直于斜线。

三垂直定理的逆命题：

如果平面内的直线与平面上的斜线垂直，则直线和斜线的投影也垂直。

面之间的位置关系：

平行、相交

评论：

线平面的角度范围为[0,π]

1.判断两个平面是否平行

(1)判定定理：线和面平行，面平行。详情如下：

(2) 垂直于同一条直线的两个平面平行，如下：

(3) 平行于同一平面的两个平面平行，如下：

2. 两个平面平行的性质

(1) 如果两个平面平行，则一个平面内的任意直线都与另一个平面平行，如下：

(2) 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行，如下：

(3) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面，如下：

3.两平面垂直的判定及性质

(1) 确定定理：如果一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直，如下：

(2)性质定理：如果两个平面相互垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面，如下：