八上数学：学习等腰三角形，晋级成学霸必须要掌握的知识点

八上数学：学习等腰三角形，晋级成学霸必须要掌握的知识点

1.等腰三角形

（1）概念：两条边相等的三角形称为等腰三角形，两条相等的边称为腰，另一条边称为底，两腰之间的角度称为顶角，腰之间的角底边称为底角。

（2）理解：①等腰三角形是一种特殊的三角形，具有三角形的所有性质，如内角和为180°、两条边之和大于第三条边等。②等腰三角形三角形是轴对称图形，这不仅是等腰三角形的特点，也是研究等腰三角形的重要方法。

解开疑惑，理解等腰三角形的相关概念（一）对于等腰三角形问题，当我们谈论角或边时，通常要明确它是顶角还是底角，是底角还是腰角。如果没有解释的话，这是可能的。讨论并解决，这是解等腰三角形时最容易被忽视和错误的部分； (2)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角，而底角只能是锐角。

【例1】等腰三角形的两条边长分别为5厘米和11厘米，则其周长为（）。

A. 27 厘米 B． 22厘米

C． 27 厘米或 22 厘米 D．无法确定

2.等腰三角形性质1

(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边等角”)。

(2)理解：这是等腰三角形的一个重要性质。这是证明角度相等的常用方法。它的应用可以省去证明三角形全等的需要，因此更加简单。

(3)适用条件：必须在同一个三角形内。

（4）应用模式：在△ABC中，因AB=AC，故∠B=∠C。

【例2】 已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为（）。

A.40°B。 80°

C． 40° 或 100° D. 100°

【例3】如图所示，AD与BC交于O，AB∥CD，OA=OB，证明：∠C=∠D。

3.等腰三角形2的性质

(1)性质2：等腰三角形的顶点平分线、底边中线、底边高彼此重合。它通常被称为等腰三角形的“三线合一”性质。

(2) 含义：这是等腰三角形的独特性质。它实际上是一组定理。在应用过程中，只要以等腰三角形为前提，已知它是其中一条“线”，就可以解释它是另一条“线”，其性质包括等线段、等角、垂直等关系，因此应用广泛。

（3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边高或底边中线）所在直线为其对称轴。

(4)应用方式：如图所示，在△ABC中，

①∵AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC（或BD=CD）；

②∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC（或AD平分∠BAC）；

③∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴BD=DC（或AD⊥BC）。

【例4】如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，与BC交于D，BD=5厘米，求底边BC的长度。

4.等腰三角形的确定

（1）判定定理：如果三角形有两个相等的角，则这两个角的对边也相等（简称“等角等边”）。

（3）理解：性质和判断应用的前提都是在同一个三角形内，并且在不证明三角形全等的情况下，可以直接从等边得到等角或者从等角得到等边，所以比较简单并且申请起来更加方便。

了解等腰三角形的确定方法，解惑

教科书上确定等腰三角形的方法主要有两种：一是确定定理；二是确定等腰三角形。另一个是定义。还有许多其他方法。例如，在同一个三角形中，如果三条直线中有两条重合，则也可以说是等腰三角形。但它并不常用。一般通过推理得出角或边相等，进而得出是等腰三角形。

【例5】如图所示，BE平分∠ABC，与AC交于E，过E画DE∥BC，与AB相交于D。试证明△BDE是等腰三角形。

5．等边三角形的概念和性质

(1)等边三角形

①概念：三条边相等的三角形是等边三角形。

②理解：它是一个特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质。

（2）性质：等边三角形的三个内角相等，每个角都等于60°。

(3)展开式：等边三角形是轴对称图形。它具有三个对称轴。它的三边相等，三个内角也相等。每条边的高度和中心线以及相应的角平分线重合且长度相等。

【例6】如图所示，M、N点分别在等边△ABC的BC、AC边上，BM=CN，AM、BN交于点Q。验证：∠BQM=60°。

6.等边三角形的确定

(1)判定定理：①三个角相等的三角形是等边三角形； ② 内角为60°的等腰三角形是等边三角形。

(2)判断方法：判断等边三角形有三种方法：一是定义，二是应用两个定理。

（3）拓展理解：关于判定定理①，有时只要两个角为60°就可以判定三角形是等边三角形。

解题技巧：利用条件证明等边三角形。证明三角形是等边三角形时，根据给定的已知条件确定采用哪种方法来证明。如果已知三角关系，一般选择定义方法；如果三角关系已知，一般选择判定定理①；如果已知三角形是等腰三角形，则选择决策定理②。

【例7】如图所示，在等边△ABC中，点P在△ABC内侧，点Q在△ABC外侧，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ。三角形△APQ是什么形状？请解释你的结论。

7. 内角为 30° 的直角三角形的性质

解题技巧：利用内角为30°的直角三角形的性质。在一些问题中，如果给定的角是15°角，你经常使用等于两个不相邻的内角之和的外角，将15°角转换成30°角后，我们然后可以利用这个属性来解决问题。

【例8】如图所示，∠C=90°，D为CA延长线上的点，∠D=15°，AD=AB，则BC=。