八年级上学期，轴对称图形，中点的联想

八年级上学期，轴对称图形，中点的联想

八年级上学期，前两章主要讲解全等三角形和轴对称图形。学完前两章，当你看到“中点”这个词时，你能想到哪些知识点呢？

双长度中线法

双长中线法是全等三角形中添加辅助线的常用方法。利用该方法可以构造全等三角形，从而获得线段的多重关系。它可以用来求解线段的长度并证明它。 。

例1：阅读下面的内容并填空：

如图1所示，可知：AD为△ABC的中心线。证明AB+AC>2AD。

证明：将AD扩展到E使得DE=AD。连接EC，则AE=2AD。

∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD．

在△ABD和△CED中，BD=CD，_____，_____。

∴△ABD≌△CED．

∴AB=EC．

△ACE中，根据三角形三边的关系，有AC+。

且AB=EC，AE=2AD，

∴AB+AC>2AD．

这种添加辅助线的方法称为“双倍长度中心线法”。请使用该方法解决以下问题：

问题1：如图2所示，在△ABC中，AC=5，AB=13，D为BC的中点，DA⊥AC。求△ABC的面积。

问题2：如图3所示，在△ABC中，AD为三角形的中线。 F点在AD中线，BF=AC。连接并延伸 BF 与 AC 相交于 E 点。证明 AE=EF。

分析：问题1：将AD扩展到E，使得DE=AD。连接 EB。证明△ADC≌△EDB(SAS)。由全等三角形的性质可知，AC=BE=5，∠DAC=∠E。根据毕达哥拉斯定理，可求出AE=12，即可找到答案；

问题2：将AD延伸至G点，令DG=DF，并连接CG。证明△BDF≌△CDG(SAS)。由全等三角形的性质可以得出BF=CG，∠BFD=∠G。可以得出∠G=∠GAC，∠AFE=∠GAC。

本题是一道关于三角形的综合题。它研究全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系、毕达哥拉斯定理和三角形的面积。熟练掌握全等三角形的确定定理和性质定理是解决问题的关键。

直角三角形斜边的中线

在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。这个知识点在解决问题时很容易被忽视。

例2：如图所示，BN和CM是△ABC的两个高度，D点和E点分别是BC和MN的中点。证明：DE⊥MN。

分析：首先连接DM和DN。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DM=DN。那么△DMN就是一个等腰三角形，根据“三条线合二为一”即可得出结论。

本题考查直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的判断和性质。掌握等腰三角形的判断和性质以及斜边中线等于直角三角形斜边一半的事实是解决问题的关键。

等腰三角形的三条线合二为一

在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线和底边高重合。等腰三角形的三条直线并集的前提是等腰三角形，那么只要知道这三条直线中的任意一条，就可以得到另外两条直线。这里一共有四个条件。只要知道任意两个条件，另外两个条件就可以证明。

例3：已知△ABC中，如图所示，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠ABC，AD⊥BD在D处，AC在E处。证明：BE═2AD 。

分析：由BD⊥AD和BD平分∠ABC，证明AD=FD，然后根据∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，进一步得到△AFC≌△BEC，则AF =BE，由此得出结论。