切线的证明，这道题需要清晰的思路，2022北京中考数学真题分析

切线的证明，这道题需要清晰的思路，2022北京中考数学真题分析

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证明圆的切线是高中数学入学考试中最常见的问题之一。一般的做法是连接圆心和切点，然后证明半径或直径垂直于切线。当然，在证明之前，是没有切点和切线的概念的。这里都是t先借的。这类题一般都比较简单，但是在2022年北京中考数学中，就有这样一类题。虽然不难，但也没有那么简单。证明需要一个特别清晰的想法。如果在这种题上浪费太多的时间，对中考的影响是巨大的。问题是这样的：

如图所示，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD，连接AC和OD。

(1)验证：∠BOD=2∠A；

(2) 连接DB，过C点画CE⊥DB，与DB的延长线交于E点，延长DO，与AC交于F点。若F为AC的中点，则验证：直线CE为切线的 ⊙O。

分析：（1）由于角A是圆周角，所以很容易想到用“同一段弧BC所对圆的圆心角是圆周角的两倍”来进行等价代换。只要OC连通，角BOC就是角A所对圆和同一弧所对圆的圆心角。因此角BOC是角A的两倍。且半径OC=OD，即三角形OCD是等腰三角形，AB垂直于CD，所以底边CD的高度在AB之上。根据“等腰三角形底边的三条线合二为一”，可知OB是 的角COD平分线，所以角OBD=角BOC，因而角BOD=2乘以角A，证明！

(2)根据问题的意思完成图片。可见，只要能证明OC与DE平行，那么CE同时与这组平行线垂直。那么利用切线定理“垂直于半径且垂直于圆的直线是圆的切线”，问题就可以解决了。为了证明两条直线平行，我们可以证明它们的一对内偏角OCD角和CDE角相等。其中角 OCD 和角 ODC 是等腰三角形 OCD 的两个底角，因此它们相等。

通过观察可以发现，只要证明三角形CFD和三角形CED全等，就可以达到上述目的。这两个三角形有一个公共边CD。容易证明它们都是直角三角形，即角CFD和角E都是直角。只要再证明一个条件，问题就解决了。

继续观察，可以发现，用同一个角（角BDC）有相等的补角ABD和角DCE，以及​​同一条弧对边的圆周的角ABD和角DCF相等，两个三角形可以替换为等量构成两个全等三角形 最后一个条件：角 DCF = 角 DCE。这是一个逆向思维的过程。现在您可以开始组织解决问题的过程：

证明： (1) 连接OC，则OC=OD，∠BOC=2∠A。

∵AB⊥CD，∴∠BOC=∠BOD（等腰三角形“三线合一”）。

∠BOD=2∠A。

(2) 如图所示，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，

还有CE⊥DB，∴∠CFD=∠E=90⁰。

∵AB⊥CD，∴∠ABD=∠DCE=90⁰-∠BDC。

且∠ABD=∠DCF，∴∠DCF=∠DCE。

且CD=CD，∴△DCF≌△DCE(AAS)。 ∴∠CDF=∠CDE。

并且∠CDF=∠OCD，∴∠CDE=∠OCD。 ∴OC//DB。 ∴CE⊥OC。

∴CE 是 ⊙O 的切线。

对于这个问题你怎么看？