中考数学提分36计之第15计提分秘笈之等腰三角形问题中的解题模型

中考数学提分36计之第15计提分秘笈之等腰三角形问题中的解题模型

几何可以说是初中数学的一半，涵盖了无数重难点知识点和中考知识点。几何学好了，初中数学就是小菜一碟了！在几何问题中，添加辅助线可以说是解决问题的关键！辅助线画得好，解题简单快捷！如果辅助线画错了，可能是迂回解决问题，又犯错误！

等腰三角形是一种特殊的图形。由于它的两条边相等且两个底角也相等，因此可以将其转化为线段或角。由于等腰三角形三条线的独特性，它成为中考中的重要考点和热门话题。它常与三角形全等的判定结合起来，常出现在特殊的四边形中。掌握等腰三角形的一些解题模型和方法，可以为我们提供一些创造性解决问题的思维方法和技巧，给人们带来简单和清晰。感受解决问题的体验，体验成功的喜悦。

1型二圆一线模型判断等腰三角形的存在

1.（2019•思明区学校水平模拟）如图所示，已知A点（-2, 0）和B点（1, 1），在坐标轴上确定C点，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件点C共有( )

A.6 B.7 C． 8 D.10

【分析】只需分两种情况解题：BA=BC和CA=CB。

【答案】如图所示：以A为圆心，长度AB为半径，有4个点C；以B为圆心，长度AB为半径，有4个点C；取AB线段的垂直平分线与坐标轴相交，2；因此，C点有10个点，故选择：D。

变体（2019·武汉一号车型）O是等边△ABC所在平面上的一点。若△OAB、△OBC、△OAC都是等腰三角形，则这样的点总数为O( )

A.4B。 5C。 6D． 10

【答案】等边△ABC中，三边高交于O点。由于等边三角形是轴对称图形，所以三个高所在的直线也是对称轴，且三边的中垂线也是两侧。 O点到达三个顶点之间的距离相等。 △ADB、△BOC、△AOC是等腰三角形。那么O点就是满足题中要求的点。顶点的高度与两侧边所成的锐角为30°。 A点是圆的中心。以AB为半径，作圆，延长AO与圆交于E点。由于E点在对称轴AE上，所以EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE为所有等腰三角形。 E也是满足题中要求的点。若AD⊥AE与圆相交于D点，则AC=AD，AD=AB，即△DAB和△ADC是等腰三角形。 D点也是符合题中要求的点。同理，若AF⊥AE与圆相交于F点，则F点也是满足题中要求的点；

同理，以B点为圆心，以AB为半径做一个圆，以C点为圆心，以AB为半径做一个圆，可以得到三个属性相同的点满足题目要求，所以一共有10个点，可以 一个点与三角形的任意两个顶点构成的三角形是等腰三角形。故选：D。

类型2.利用方程思想解决等腰三角形问题

2.（2018秋季·南通决赛）如图所示，在Rt△ABC中，D、E为斜边AB上的两点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的次数为（ ）

A.30°B。 36°C。 45° D. 48°

【分析】假设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°_∠ACE=90°_x_y，根据等边等角，可得∠ ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-y。然后在△DCE中，利用三角形内角和定理，制定方程x+(90°-y)+(x+y)=180°，求解方程即可求出∠DCE的大小。

【答案】假设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°_∠ACE＝90°_x_y。

∵AE=AC, ∴∠ACE=∠AEC=x+y,

∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°_x_y+x＝90°_y。

在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，

∴x+(90°-y)+(x+y)=180°，解为x=45°，∴∠DCE=45°。故选：C.

【点评】本题考察等腰三角形的性质以及三角形内角和定理。设定适当的未知数并列出方程是解决问题的关键。

Type 3 常规探索题

类型 4 构造两个等腰三角形模型

(1)平行+角平分线-等腰三角形；

4.（2018年秋季·安庆期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB平分线交于I点，过I点为DE∥BC，与BA相交于D点，与AC相交于E点， AB=5，AC=3。∠A=50°，则下列说法错误的是（ ）

A. △DBI 和 △EIC 是等腰三角形 B. I 是 DE 的中点

C． △ADE的周长为8D。∠BIC＝115°

【分析】由角平分线和平行线的性质可以得到等角，可以确定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD=DI，CE=EI，并换算△ADE的周长代入△ABC。两条边AB和AC之和，即△ADE的周长为8。

【答案】∵BI平分∠DBC，∴∠DBI = ∠CBI，

∵DE∥BC，∴∠DIB=∠IBC，∴∠DIB=∠DBI，∴BD=DI。

同理，CE=EI。 ∴△DBI和△EIC为等腰三角形；

∴△ADE=AD+DI+IE+EA=AB+AC=8的周长；

∵∠A＝50°、∴∠ABC+∠ACB＝130°、∴∠IBC+∠ICB＝65°、∴∠BIC＝115°、

故选项A、C、D正确，故选：B。

5、如图5所示，已知：在△ABC中，AB≠AC，AE平分∠BAC，D点在BC上，DE=EC，通过D点画DF∥BA与AE交于F点。验证：DF=AC。

分析：要证明DF=AC，如果考虑将它们放在两个三角形中并通过两个三角形全等来解决问题，则证明很难实现。因此，我们可以考虑构造一个三角形，使DF和AC为三角形的两条边。然后通过等角等边的方法来证明（本质就是构造等腰三角形）。

证明：将AE扩展到G，令GE=AE，并连接DG。

在△AEC和△GED中，AE=AG，∠AEC=∠GED，EC=ED，

∴△AEC≌△GED,∴AC=DG,∠CAE=∠DGE,

并且∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE。

∵DF∥BA, ∴∠​​BAE=∠DFG, ∴∠DFG=∠DGE, ∴DG=DF

【点评】本题通过构造△GED将线段AC转移到DG，从而将问题转化为两条边相等的三角形。这样，两条线段通过传递集中成一个三角形，然后通过等角证明等边的技巧，在以后的几何证明问题中会经常遇到，要仔细理解和掌握。

（2）垂线+角平分线-等腰三角形，这种模型很常用，经常需要辅助线（延长线等）；

【点评】本题考察全等三角形的性质和判定，以及三角形面积的应用。注意：等底等高的三角形面积相等。这里的辅助线是有规律的，因为当一条线段与一个角的平分线互相垂直时，必然得到一个等腰三角形，这样可以丰富问题设置，为解决问题创造有利条件。

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