等腰三角形三线合一吗 MEM/MBA数学基础（07）几何

等腰三角形三线合一吗 MEM/MBA数学基础（07）几何

本系列文章主要讲解MEM/MBA的数学基础。系列文章大纲链接为：MEM/MBA数学大纲

本章思维导图如下（思维导图会持续迭代）：

第一层：

第二级：

1 平面几何

1.1 三角形

1.1.1 三角形的性质

三角形内角和定理：角A + 角B + 角C = 180° 三角形三条边的关系： 三角形任意两条边之和大于第三条边，且三条边之间的差两条边小于第三条边。三角形的任何外角都等于其两个不相邻内角之和。三角形面积公式：S =a*h/2 = (a*b*sinC)/2，h为a边高，角C为a、b边夹角。中线：在三角形中，连接一个顶点与其对边中点的线段称为三角形的中线。角平分线：三角形内角的平分线与其对边相交。连接角的顶点和交点的线段称为三角形的角平分线。高线：从三角形的一个顶点到其对边所在直线所画的垂线。顶点与垂直脚之间的线段称为三角形的高线。

1.1.2 特殊三角形

@1直角三角形

毕达哥拉斯定理：c^2 = a^2+b^2，该三角形是直角三角形（角C=90°）

重要结论：在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半。直角三角形的两种特殊三边关系：

30°直角三角形：1:√3:2 等腰直角三角形：1:1:√2

直角三角形的性质：

两个直角边的乘积等于斜边与其高度的乘积（面积公式）。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

@2等腰三角形

等腰三角形的两个底角相等，两侧的中线相等，两个底角的平分线也相等。等腰三角形由三条线合而为一：顶点平分线、底边、高底中线。

@3等边三角形

所有三个边都相等且所有角度都相等 (60°)。一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形。面积为S=(√3*a^2)/4（a为边长）

1.1.3 两个三角形全等

1.1.4 两个三角形的相似度

@1 三个角相等且三边成比例的两个三角形称为相似三角形。

@2相似比的定义：相似三角形对应边的比值（k）称为相似比（或相似系数）。

@3相似的属性：

@4类似应用： 三角形中线：连接三角形两边中点的线段称为三角形的中线。三角形的中线平行于第三条边，并且等于第三条边的一半。 （注：相似度常用于直角三角形（即投影定理，如下所述））

1.2 四边形

1.2.1 四边形的基本性质

1.2.2 平行四边形

@1 定义：两组对边平行的四边形称为平行四边形。

@2属性：

@3面积和周长：如果平行四边形两条边的长度分别为a和b，以b为底的高为h，则面积S=b*h，周长L=2(a+ b)

1.2.3 特殊平行四边形

@1 矩形：有一个直角的平行四边形是矩形。对角线相等，面积S=a*b。

@2菱形：具有一组相等相邻边的平行四边形是菱形。对角线是垂直的，每条对角线平分一组对角。面积S=(L1*L2)/2，是两条对角线乘积的一半。

@3 ：既是长方形又是菱形

@4梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。假设梯形的上底a、下底b、高h为，则中线=(a+b)/2，面积为s=(a+b)*h/2。

1.3 圆

@1 定义：圆是到固定点的距离等于固定长度的点的集合。

@2周长和面积：周长为C=2*兀*R，面积为S=兀*R^2

@3切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

@4扇形：由一段圆弧和穿过该圆弧两端的两个半径围成的图形称为扇形。

2 立体几何

2.1 长方体

@1长方体的定义：六个面都是长方形。长方体中的每个矩形称为长方体的一个面。面相交的线称为长方体的边。三个边相交的点称为长方体的顶点。它们相交于a，顶点处的三条边的长度分别称为长方体的长、宽、高。当长、宽、高相等时，称为正方体。

@2长方体的基本公式（假设长方体同一顶点的三个边长分为a、b、c）：

2.2 圆柱形

定义：圆柱体是由以矩形的一条边为旋转轴旋转一圈所形成的曲面所包围的几何体。 （如下左图）

圆柱体的侧面展开图和侧面面积：切下圆柱体的一条母线并将其展开在平面上即可得到它们的侧面展开图。圆柱体的侧面展开图是一个长方形（见下图）。矩形的长度为基圆的周长，宽度为圆柱体的高度（即母线的长度）（见下右图）

基本公式（假设圆柱体高度为h，基圆半径为r）：

体积：V=兀*(r^2)*h 边面积：S边=2*兀*r*h（其中r为基圆半径，h为圆柱体高度） 边展开图为长为2*兀*r，宽为h的矩形。全面积：S全=S边+S（上底+下底）=2*兀*r*h+2*兀*r^2

2.3 球体

@1定义：半圆以其直径为旋转轴，旋转形成的曲面称为球面。球体包围的几何体称为球体，简称球体。半圆的圆心称为球心，连接球心到球上任意一点的线段称为球的半径，连接球上两点并经过半圆的线段称为球半径。球体的中心称为球体的直径。

@2 基本公式（设球的半径为R）：

球的表面积公式：S表=4*兀*R^2或S表=Wu*D^2（D为球的直径） 球的体积公式：V体=4*兀* (R^3)/3 = 兀*(D^3)/6 (D为球的直径)

3 平面解析几何

3.1分

3.2 直线

@1直线的倾角和斜率：

@2直线方程组（共5类：点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式）：

点斜率公式： y-y1 =k(x-x1) （说明：直线 L 通过点 P(x1, y1)，斜率为 k） 斜率截距公式： y =k*x+b，斜率为k，在y轴上的截距为b（注：不包括垂直于x轴的直线）通式：Ax+By+C =0（注：A和B不是同时为 0，斜率为：-A/B） 两点公式：(y-y1)/(y-y2) = (x-x1)/(x-x2) （说明：上两点直线P1(x1,y1),P2(x2,y2)已知，注意：(x1≠x2,y1≠y2)即不能表示倾斜角为0°和90°的直线）截距公式：x/a+y/b=1（说明：已知x轴上的截距为a，y轴上的截距为b）

@3两条直线的位置关系：

设两条不重叠的直线为L1：A1*x+B1*y+C1=0，L2：A2*x+B2*y+C2=0

@@3.1 交点：下面的方程组有唯一的实数解，这意味着两条直线彼此相交。

@@3.2 并行：满足以下条件即表示并行：

@@3.3 垂直：满足以下条件即为垂直：

@@3.4 两条平行直线的距离公式为（两条直线分别为L1: A1*x+B1*y+C1=0 和 L2: A2*x+B2*y+C2=0 并且彼此平行其他）：

@4 点到直线的距离公式

平面上一点P(x0,y0)到直线L的距离公式：Ax+By+C=0为：

@关于特殊直线对称点的5点

假设点P(x0,y0)是直角坐标系中的任意点，则点P(x0,y0)

3.3 圆

@1 圆方程

标准方程：(xa)^2 +(yb)^2 =r^2 (r>0)，称为圆的标准方程。其中心坐标为(a,b)，半径为r。当圆心位于原点(0, 0)，半径为r时，圆的方程为x^2 +y^2 =r^2。

一般方程：x^2 +y^2 +Dx+Ey+F =0。

当D^2+E^2-4*F>0时，圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径为r =√(D^2+E^2-4F )/2 当D^2+E^2-4*F=0时，该方程表示一个点(-D/2,-E/2)，当D^2+E^2-4*F

@2 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

@@2.1 点P(x0,y0)与圆的位置关系：

对于圆的标准方程(xa)^2 + (yb)^2 =r^2，若d=√(a-x0)^2+(b-y0)^2，则有：

d>r点P在圆外； d=r 点P在圆上； d 点P在圆内；

对于圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F =0 则有：

若x^2+y^2+Dx+Ey+F 0，则P点在圆外；

@@2.2 直线和圆存在三种位置关系（本质是求点到直线的距离）：

直线Ax+By+C=0与圆的位置关系(xa)^2 + (yb)^2 =r^2：圆心到直线的距离公式为（点（ x0,y0) 是圆心):

存在三种关系：

d>r表示分离； d=r表示相切； d 表示交叉点；

@@2.3 圆之间的位置关系有五种（本质是求两点之间的距离）：

假设两个圆的圆心分别为O1和O2；半径分别为r1和r2； | O1O2 | = d:

d>r1+r2：外部，有4条公切线； d=r1+r2：外切线，有3条公切线； | r1-r2 |d=| r1-r2|，内切，有 1 个公切线； 0

分析两个圆的位置关系的解题步骤：

根据两个圆的方程确定两个圆的圆心和两个圆的半径。根据两点之间的距离公式计算两个圆心之间的距离，并分析圆心距与两个圆半径的关系。