「中考数学」解答题系列4：与圆有关的证明与计算

「中考数学」解答题系列4：与圆有关的证明与计算

考试方向解读

分析河南近10年（2010-2020）数学中考试题，我们发现第18题的特点：

第18题主要测试：

① 与圆有关的特殊四边形的动态研究问题；

② 与圆有关的证明和计算

涉及知识点：圆周角定理、圆的切线的确定定理、圆的切线的性质定理、相似三角形的确定及性质、等腰三角形的性质及确定定理、直角三角形的性质及判定定理、菱形的性质及判定定理等具体命题特点：

1、第一题主要是证明：全等、线段相等、角度相等等；

2.问题2主要是与圆相关的计算：

①求线段的长度（或面积）； ②求线段的比例； ③求角度的三角函数值（本质上还是求线段之比）。

实例分析

例2（2017·河南）如图所示，在△ABC中，AB=AC，⊙O以AB为直径与边AC交于D点，经过C点作CF∥AB，与切线相交线过B点于D.F点，连接至BD。

(1)验证：BD=BF；

(2) 若AB=10，CD=4，求BC的长度。

(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

∴BD⊥AC，∠BDC=90°，

∵BF 将 ⊙O 切割为 B，

∴AB⊥BF,

∵CF∥AB,

∴CF⊥BF, ∠FCB=∠ABC,

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC,

∴∠ACB=∠FCB,

∵BD⊥AC，BF⊥CF，

∴BD=BF;

（2）解：∵AB=10，AB=AC，

∴AC=10,

∵CD=4,

∴AD＝10﹣4＝6，

解决问题的技巧

1、找到圆心，连接半径，转移边（或等腰）（这一点很容易被忽视，但又特别重要）；

2、遇到切线时，连接半径并使其垂直（利用切线的性质）；

证明切线：①有切点，连接半径，证明垂直；

常见的技术包括：全等变换；并行变换；直径变换；中线改造等；

有时可以结合相似性和毕达哥拉斯定理通过计算来证明垂直度；

②无切点，使其垂直并证明半径；

常用技巧：角平分线定理；等腰三角形的三条线合二为一，隐藏了角平分线；

证明的关键是处理好弧、弦、角之间的相互变换，善于相互关联，并总结经常添加的辅助线。

3、遇角求圆弧，从圆弧求角，然后用同圆弧对边的圆周角等于对边圆的圆心角的一半（圆中处理角的方法和策略） ）；

4、遇到直径时，想象一下直径对应的圆的角度是90°（有时需要构造直径）；遇到一根弦，计算弦到中心的距离（垂直直径定理），构造一个直角三角形，用毕达哥拉斯定理直接解或解方程（涉及拱门的高度）；

5、注意圆内切四边形性质的应用（容易漏掉，没考虑到）：对角线互补，一个外角等于相反的内角；

6. 30°直角三角形三边之比为：

7、求线段的长度：将所需的线段转换成直角三角形，然后结合已知条件，利用毕达哥拉斯定理或锐角三角函数求解。

计算线段长度或圆中线段的比例通常要结合毕达哥拉斯定理、垂直直径定理以及三角形的全等和相似等知识。形式复杂且不规则。

分析时，重点观察已知线段之间的关系，选择定理来转换线段或角度。

特别是，我们需要利用圆的相关定理，将弧、弦、角相互变换，找出所需线段与已知线段之间的关系，从而将未知变成已知和已知。解决问题。

8、“直角+中点”模型：认为斜边的中线等于斜边的一半或推导出其逆命题； “角平分线+平行”模型：可以推导出等腰三角形，或者考虑其逆命题；

9、圆证明题中常用的辅助线有：

①直径问题：遇到直径时，计算圆的角度。

②切向问题：

证明切线：连接圆心与一点，证明其垂直；画一条没有点的垂线，证明半径。

圆的切线已知：若一点与圆心相连，则得到垂线；如果画一条没有点的垂线，就可以得到半径。

③字符串类型问题：

通过圆心和连接半径绘制一条与弦垂直的线段。

这样构造一个直角三角形并解出直角三角形。

10.重要且常见的数学思维方法包括：

(1)结构思路：如：

①构造矩形变换线段；

② 构造“投影定理”的基本图来研究线段（假设任意两条线段都可以用来求所有其他线段的长度）；

③构建垂向直径定理模型：半弦长、弦心距、半径；

④构建毕达哥拉斯定理模型；

⑤构造三角函数。

（2）方程思维：设置未知数来表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现线段之间的等式关系，建立方程来解决问题。

（3）建模思路：利用基础图形的结论发现问题中的线段关系，将问题分解为若干个基础图形问题，通过基础图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，然后找出隐藏线段之间的数量关系。

考试准备指南

1. 仔细审阅问题。从已知条件可以获知哪些信息？解决的目标是什么？如果只着眼于目标寻找条件，不能直接解决问题，那如何转化问题呢？

2. 熟悉几何中的基本形状，如类似A形、X形、双竖形等。

3、求线段长度的两个工具：毕达哥拉斯定理和相似度（或锐角三角函数）；一个想法：方程思维。

4、使用三角函数的前提是它们必须是直角三角形。如果某个角度的三角函数很难求，可以用等角变换将其转化为好的直角三角形来求解。

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参考答案