“两个底角角平分线相等的三角形是等腰三角形”的证明

“两个底角角平分线相等的三角形是等腰三角形”的证明

能解决这个问题的学生确实很少。必须使用雷米奥斯-斯坦纳定理。

题目如下：已知△ABC中，角平分线BB'和CC'相等。验证：AB=AC

方法一：

反证法：假设AB＜AC，则∠1>∠2，并在AB'中取D，使∠DBB'=∠3=∠2

在△BCD中，∠3+∠1>∠C，则BD

因此，在CD上可取CE=BD，且BD过E的平行线与CC'相交于F

因为BD=CE,∠3=∠ECF,∠4=∠5

∴△BDB'≌△CEF

∴BB'=CF＜CC'是一个矛盾。

方法二：

假设三角形ABC，∠B=2a，∠C=2b，角平分线BD=CE

以BD和CE为底，a+b为底角，作两个等腰三角形BDF和CEG。

连接AF、AG

那么ADBF的四个点是一个公共圆，AGCE的四个点也是一个公共圆。

因为∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度

所以FAG是共线的

∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180 度

因此BCGF的四个点围成一个圆

因为△FBD≌△GEC

因此，BF=CG，结合同圆条件，可得FG//BC，等腰梯形，∠FBC=∠GCB

b+a+a=b+b+a

整理出∠B=∠C

图1

图2