第19章 几何证明

第19章 几何证明

《上海市中小学数学课程标准》

认知水平和基本特征

记忆水平

能够识别或记住相关的数学事实和材料，并识别或再现它们；能够简单地在标准情况下应用它们，或根据示例进行模仿（缩写为1级）

动作动词一般用：知道、理解、认识、感知、识别、初步经验、初步学习等。

解释性理解水平

了解知识的来龙去脉，理解知识的本质，能够用自己的语言或转换方法正确表达知识内容；能够在某些变体情况下区分知识的本质属性和非本质属性，并将简单变体转化为标准形式，并解决相关问题（简称2级）

动作动词一般用：解释、表达、解释、理解、理解、理解、总结、比较、推测、判断、转换、初步掌握、初步能够使用等。

基于探究的理解水平

能够把握知识的本质以及内容和形式的变化；能够从实际问题中抽象出数学模型或作出归纳假设进行探索，将具体现象提升为解决问题的本质联系；能够扩展或扩展数学内容扩展数学问题，并在解决问题的过程中有效地思考评价和追求合理性、完整性和简单性（简称3级）

动作动词一般使用：掌握、演绎、证明、研究、讨论、选择、决定、解决问题、知道如何使用、总结、设计、评估等。

本章教学目标

1.体验几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演变过程，了解几何直觉和演绎推理的作用；知道基本逻辑术语，理解命题、定理和证明的含义；了解推理过程的因果关系，并知道证明的步骤。

2、在例题的学习和证明练习中，初步掌握演绎推理的规则和标准表达式的格式；您将能够使用三角形全等的确定定理和性质定理来证明有关相等线段、相等角度以及两条直线平行和垂直的简单问题。利用等腰三角形的确定定理和性质定理来证明简单的几何问题。

3.通过平行线和等腰三角形相关定理的分析，理解逆命题和逆定理；掌握线段角平分线和垂直平分线的相关性质；知道轨迹、圆、角平分线的含义，这三个基本轨迹是线段的垂直平分线。

4.掌握判断两个直角三角形全等的特殊方法。在学习“斜边、直角边”判定定理的过程中，了解解决问题过程中矛盾的一般性和特殊性；掌握直角三角形的相关性质和判定。

5、在毕达哥拉斯定理及其逆定理的学习中，领略人类文明的辉煌成就，感受理性思维的精神和拥抱世界文化的意义；了解毕达哥拉斯定理的推导过程及其在度量几何中的作用，并进一步了解形状与数字之间的关系；能够运用毕达哥拉斯定理及其逆定理解决比较简单的证明或计算问题以及比较简单的实际应用问题；掌握平面直角坐标系中两点间距离的公式。

课程教学目标

以下教学目标和要点是在一些优秀教案的基础上收集整理而成的。每个班级的学习情况都不同。教师只能作为设计时的参考。

19.1（1）命题和证明（演绎证明）

教学目标

1.体验用不同方法证明“顶角相等”和“三角形内角和等于180°”的过程，了解不同证明方法的不同效果和互补效果，感受演绎证明的严谨性和可靠性；

2、理解演绎证明的含义，知道演绎推理的基本过程，掌握因果关系的表达，明白演绎证明的每一步都必须有根有据；

3.知道演绎推理广泛应用于数学代数和几何领域，培养科学严谨的数学态度。

教学重点关注演绎推理过程中各段落的因果关系及其规范化表达。

教学难点在于理解演绎推理过程中因果关系的表达。

19.1（2）命题和证明（命题、公理、定理）

教学目标

1.理解定义、定理、公理、命题、真命题、假命题等概念，体会定义、定理、公理、命题等之间的区别和联系；

2、理解命题的结构，能够区分命题的命题和结论，能够将命题改写成“如果……那么……”的形式；

3、能够判断命题真假；

4.掌握证明命题正确过程的一般步骤；

5、能够举出反例来证明某个命题是错误的；感知证明过程中体现的理性精神。

教学重点是命题、定义、定理、公理的概念，能够陈述命题的命题和结论，并重写命题的形式；判断命题真假，并给出反例证明命题错误。

教学难点：正确、简洁地表达命题的命题和结论。

19.2 证明例子（1）

教学目标

1.掌握平行线的性质和判定的运用以及所学的几何知识来证明两直线平行度的相关问题；

2、在证明实例中，初步掌握因果关系的表达、标准化表达的格式、符号语言的使用；

3、体验例1、例2的分析证明过程，体验演绎证明的思维方法，培养逻辑思维能力。

教学重点是演绎证明思路的分析和证明过程的规范化表达。

教学疑难证明题思路的分析过程。

19.2 证明例子（2）

教学目标

1.能够运用全等三角形和等腰三角形的性质和判断来证明等线段和等角的相关问题，掌握证明两条线段相等和两个角的证明过程的思维方法和表达是平等的；

2、能够添加辅助线构造全等三角形，证明两条线段相等、两个角相等，了解辅助线的作用，掌握常用辅助线的添加方法；

4、培养阅读、分析和应用图形属性的能力；

3、体验命题证明的分析过程，体验解决几何证明问题的一般方法；运用多种方法解决问题，培养思维的逻辑性和灵活性。

教学重点是证明两条线段相等、两个角相等的证明过程的思维方法和表达。

试题教学思路分析及各种方法的选择。

19.2 证明例子（3）

教学目标

1.掌握利用全等三角形的判断和性质证明两条直线平行、两条线段相等的思想分析过程和证明过程，灵活选择证明问题的方式；

2、培养分析图片、应用几何图形性质的能力；

3、通过探索证明思路的过程，进一步积累演绎证明的经验，提高逻辑思维和解决问题的能力。

教学重点是利用全等三角形的判断和性质证明两条直线平行、两条线段相等的分析和证明过程。

试题疑难教学思路探索。

19.2 证明例子（4）

教学目标

1、掌握利用等腰三角形“三线合一”和利用垂线的定义证明两条直线垂直的两种基本方法；

2、能够分析图片，探索证明问题的思路，合理选择解决问题的方法；

3、进一步学习演绎推理和规范表达，培养逻辑思维能力。

教学重点是利用等腰三角形的“三线合一”和两种基本方法，根据垂直度的定义证明两条直线垂直。

探索教学难点，探索证明题思路，合理选择证明题方式。

19.2 证明例子（5）

教学目标

1、能够初步分析命题的意义，画出几何图形，写出已知的内容，根据命题和结论进行验证和证明；

2、能够添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰三角形，并利用相关性质解决问题；

3、体验探求论证问题思路的过程，了解添加辅助线和构造基本图形的方法，丰富解题经验，提高思维能力。

教学重点是添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰三角形，并利用相关性质解决问题。

对教学难点添加辅助线，构建有效的图形。

19.2 证明例子（6）

教学目标

1、通过添加辅助线初步掌握图形的构造，综合运用所学的几何性质证明线段的和与差以及角度的1/2关系；

2、体验证明思路的分析过程，体验在图形旋转、折叠运动思路指导下添加辅助线构造图形的方法，拓宽证明题思路，提高分析能力。

教学重点是添加辅助线构造图形，综合运用所学的几何性质证明线段的和与差以及角度的倍半关系。

教学难点是添加辅助线构造图形，综合运用所学的几何性质证明线段的和与差以及角度之间的关系。

19.2 证明例子（7）

教学目标

1.掌握用普通语言描述的命题证明的一般步骤和标准表达，并能根据命题的标题和结论画图、写已知、证实、证明；提高运用数学语言和逻辑表达的能力；

2.掌握利用三角形的两倍全等和利用面积证明两条线段相等的方法，拓宽证明思路。

教学重点是绘制图形、写出已知事实和验证，以及根据命题的标题和结论证明命题。

教学难点是根据命题和结论画出图形，并正确写出已知和验证的内容。

19.3逆命题和逆定理

教学目标

1.理解逆命题和逆定理的概念，掌握两个互逆命题之间的关系；

2、能够说出命题的逆命题并判断命题的真假；

3. 理解命题一定有逆命题，但定理不一定有逆命题。

教学重点是逆命题和逆定理的概念，讲述命题的逆命题。

教学难点：正确说出简单命题的逆命题。

19.4 线段的垂直平分线

教学目标

1.掌握线段垂直平分线的性质定理及其反定理，理解这两个倒数定理的区别和联系，并能用符号语言表达这两个定理；

2、能够正确运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决问题；

3、初步运用“集合”的思想来理解线段的垂直平分线；

4.通过从操作实验到演绎推理的数学活动，了解实验归纳和演绎推理的作用。

教学重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并运用这两个定理解决问题。

教学难点：理解线段垂直平分线的两个倒数定理的联系和区别，并正确运用定理。

19.5 角平分线 (1)

教学目标

1.掌握角平分线的性质定理及其反定理，理解这两个倒数定理的命题和结论，并能用符号语言表达；

2.能够正确运用角平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题；

3、基于实验几何的知识和经验，探索角平分线的性质，再次体验求定理是否有逆定理的过程，提高推理证明的意识和能力。

教学重点是角平分线的性质定理、其逆定理及其应用。

教学难点在于区分互易定理的问题和结论并正确运用定理解决问题。

19.5 角平分线 (2)

教学目标

综合利用线段垂直平分线的定理和逆定理以及角平分线的性质来解决简单的几何问题。

教学重点是综合运用线段垂直平分线的定理、逆定理以及角平分线的性质来解决简单的几何问题。

教学难点：直接利用线段垂直平分线和角平分线性质的定理和反定理来解决问题，简化了证明问题的过程。

19.6 轨迹（1）

教学目标

1、利用已有的生活和知识经验，体验点的轨迹形象，理解轨迹的意义；

2、掌握“圆”、“线段垂直平分线”、“角平分线”三种基本轨迹；

3、能够用三种基本轨迹解释简单的轨迹问题，并用图形语言表达；

4、对收藏理念的初步认知。

教学重点关注三种基本轨迹，并讲解简单的轨迹问题。

教学难点是用三种基本轨迹来解释简单的轨迹问题。

19.6 轨迹（2）

教学目标

1、能够运用交集法进行基本绘图；

2.理解用相交法绘图的分析过程和操作实践中的相交思想，知道如何使用相交法进行基本绘图以及该方法的标准化表达。

教学重点是交线法的基本绘图。

教学难点分析所需点在哪两条轨迹上。

19.7 直角三角形全等的判定

教学目标

1、掌握直角三角形全等的判断定理，能够判断直角三角形全等；

2、体验直角三角形全等“HL”定理的探索过程，体验演绎、还原的思维；

3、熟练掌握证明命题的一般步骤，正确画出命题的图形，并写出已知、验证和证明。

教学重点是直角三角形全等的判断。

教学难点：灵活运用判断三角形全等的方法和“HL”判断直角三角形全等的方法。

19.8 直角三角形的性质（1）

教学目标

1、掌握直角三角形的性质定理（1）和（2），并能够利用性质进行计算和证明；

2、体验直角三角形性质定理（2）的探索过程，体验从具体到一般、从猜测到证明的研究图形性质的方法。

教学重点是直角三角形的性质定理(1)和(2)及其应用。

教学难点包括添加辅助线来证明直角三角形的性质定理(2)。

19.8 直角三角形的性质（2）

教学目标

1、掌握直角三角形性质定理（2）的推论1和推论2，能够用符号语言表达并正确应用；

2.能够运用直角三角形的性质定理和推论进行计算或证明。

教学重点是直角三角形性质定理(2)的推论，利用直角三角形的性质和推论来计算或证明。

教学难点 灵活运用直角三角形的两个性质和两个推论进行计算或证明。

19.8 直角三角形的性质（3）

教学目标

综合利用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质以及推论来进行计算或证明。

教学重点是利用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质以及推理计算或证明。

教学难点包括灵活运用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质以及推理计算或证明。

19.9 毕达哥拉斯定理（1）

教学目标

1、体验通过计算面积证明勾股定理的过程，了解勾股定理的重要性，体验人类文明，激发学习兴趣，提高探索问题的能力；

2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单问题，并能够规范并书写解题流程。

教学重点是勾股定理的证明和应用。

探索教学难点，采用面积割补法证明毕达哥拉斯定理。

19.9 毕达哥拉斯定理（2）

教学目标

1.掌握勾股定理和直角三角形性质的运用，解决相关计算或证明问题；

2、掌握辅助线的加法，运用勾股定理解决一般三角形相关的计算问题；

3、运用毕达哥拉斯定理解决实际问题，增强数学意识，深入理解方程及数与形结合的思想；

4..能够利用勾股定理构造出一定长度的线段（n为大于1的整数）。

教学重点是勾股定理的计算和证明以及解决简单的实际问题。

教学难点包括将实际问题转化为数学问题；添加辅助线，将普通三角形转换为直角三角形并使用毕达哥拉斯定理。

19.9 毕达哥拉斯定理（3）

教学目标

1.了解毕达哥拉斯定理逆定理的证明方法；

2.掌握勾股定理的逆定理，能够从定量角度分析判断三角形的类型；

3、能够运用勾股定理及其反定理进行计算或证明；掌握勾股定理及其反定理在表达和应用上的差异；

4、了解勾股数列的概念，熟悉最基本的勾股数列；

5.．感受互惠命题，培养互惠思维。

教学重点是勾股定理的逆定理，根据三角形三边的数值关系判断三角形是否为直角三角形。

教学难点：勾股定理逆定理的证明。

19.9 勾股定理 (4)

教学目标

1、综合运用勾股定理和反定理解决问题，掌握这两个定理应用时表达和应用上的差异；

2.掌握利用与三角形面积相关的等积公式计算垂直线段长度；

3、能够利用图形的移动添加辅助线构造直角三角形，并证明两条线段的平方和等于第三条线段的平方；了解如何利用图形的运动将一些分散的元素集中到一个图形中；

4、提高分析图片和利用图形属性的能力。

教学重点是毕达哥拉斯定理及其逆定理的综合应用。

教学难点是利用图形的移动并添加辅助线来构造直角三角形。

19.10 两点之间的距离公式

教学目标

1、掌握两点之间的距离公式，能够利用两点之间的距离公式计算坐标平面上两点之间的距离或求出一点的坐标；

2、能够根据直角坐标平面中三角形的三个顶点坐标来判断三角形的形状，理解数字与形状相结合的思想；

3、了解两点距离公式的推导过程，知道两点距离公式是利用毕达哥拉斯定理进行定量研究的典型体现。

教学重点是掌握两点之间的距离公式，并利用两点之间的距离公式计算两点之间的距离或坐标平面上一点的坐标。

两点之间距离公式的推导是教学难点。