全等三角形证明方法归纳，典例详解几种辅助线做法，含思路分析

全等三角形证明方法归纳，典例详解几种辅助线做法，含思路分析

全等三角形的证明主要用于证明边或角相等。作为重要的证明手段，可以归纳出很多方法。为了正确表达两个三角形的全等，找出对应的元素。钥匙。全等三角形的应用：利用全等三角形可以证明线段相等、角度相等、两条直线垂直等问题。同时，还可以通过判断两个三角形全等来证明两条线段之间的位置关系和大小关系。证明两条线段或两个角的和、差、倍数、分数相等是几何证明的基础。在证明过程中，请注意有时会添加辅助线。下面通过典型例子详细讲解五种常见的辅助线做法。

首先我们来学习一下如何求全等三角形： (1)可以从结论出发，找出要证明的两条相等的线段（或两个角）位于哪两个可能的全等三角形； (2)可以从已知条件出发，根据已知条件判断哪两个三角形全等； （3）综合考虑条件和结论，看哪两个三角形全等； (4)如果上述方法都不可行，可以考虑添加辅助线来构造全等三角形。

三角形中辅助线的常用方法：①延长中线构造全等三角形； ②利用对折构造全等三角形； ③画平行线构造全等三角形； ④ 连接直线构成等腰三角形。

1、遇到等腰三角形时，可以利用底边的高度，利用“三线合一”的性质来解题。思维方式是“对折”的全等变换。

例1：如图所示，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，与AC相交于D点，CE与BD垂直，与BD的延长线相交于E点。验证：BD=2CE。

思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形三线统一定理的应用； 2）题解：需证明BD=2CE。可以用对倍法来延长短边，并且由于BD平分∠ABC的条件可以与等腰三角形的三线并定理结合起来。

求解过程： 证明：延伸BA，CE交于F点，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，所以CF=2CE。

且∠1+∠F=∠3+∠F=90°，所以∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

小贴士：应用等腰三角形“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，不仅可以提高解决问题的能力，还可以加强相关知识点与不同知识领域的联系，开拓思路。给学生一个广阔的世界。探索空间；而且添加辅助线的过程还蕴含着归约的数学思想，这是解决问题的关键。

2、如果遇到三角形的中线，可以将中线的长度加倍，使延长的线段等于原中线的长度，构造全等三角形。采用的思维方式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图所示，已知ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，AD为BC的中线。证明：ΔABC 是等腰三角形。

思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形中常用辅助线的知识。 2）解题思路：证明三角形时，要特别注意题中出现的中点、中线、中线等条件。一般来说，这些条件都是解决问题的突破口。本题给出的答案是AD是否是BC边，需要中线的条件，需要证明AB=AC。 AD乘以二即可得到全等三角形，问题得到证明。

求解过程： 证明：将AD扩展到E，令DE=AD，并连接BE。

又因为AD是BC一边的中线，所以∴BD=DC

又∠BDE=∠CDA，故ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD为∠BAC的平分线

∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，所以AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

提示：如果问题中出现三角形的中线，通常将线段的长度加倍，然后连接端点以获得全等三角形。

3、遇到角平分线时，可以从角平分线上的某一点向角两边画垂线。使用的思维模式是三角形全等变换中的“折叠”。考的知识点往往是关于角平分线的。性质定理或逆定理。

例3：如图所示，已知AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。验证：∠B+∠ADC=180°。

思路分析： 1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。 2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可以过C点画∠BAD两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等来解决问题。

求解过程： 证明：设CE⊥AB在E中，CF⊥AD在F中。

∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。

Tips：①关于有角平行线的问题，常用两条辅助线；

②看到中点，就会想到中线。

4. 通过图形上的某个点绘制特定的平行线以构造全等三角形。所采用的思维方式是“平移”或“全等变换”中的“翻转折叠”。

例4：如图所示，在ΔABC中，AB=AC，E为AB上的点，F为AC延长线上的点，EF与BC交于D，若EB=CF。验证：DE=DF。

思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常用辅助线的知识：制作平行线。 2）解题思路：因为DE和DF所在的两个三角形ΔDEB和ΔDFC不能全等，且EB=CF，所以需要添加辅助线进行等线段的等代：通过E，使EG // CF，构造一个中心对称全等三角形，然后利用等腰三角形的性质来解决问题。

求解过程： 证明：通过E，使EG//AC通过BC到G，

则∠EGB=∠ACB，且AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，

∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

提示：本题的辅助线还可以通过以下方式使用：

5、截断法和短充分性法。具体方法是从某条线段截取一条线段使其等于某条特定线段，或者将某条线段延长使其等于某条特定线段，然后利用同余的相关性质三角形来添加说明。这种方法适用于证明线段的和、差、倍数、分类等问题。

例5：如图A所示，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。验证：CD=AD+BC。

思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常用辅助线的知识：截断法还是短补法。 2）解题思路：结论是CD=AD+BC。可以考虑使用“截断法”中的“截断法”，即在CD上截取CF=CB。只要证明DF=DA即可。这就转化为证明两条线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

求解过程： 证明：在CD上截取CF=BC，如图B

在△FCE和△BCE中，CF=CB，∠FCE=∠BCE，CE=CE

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。还有∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∴1+∠4=90°，

∴∠3=∠4。在△FDE和△ADE中，∠FDE=∠ADE,DE=DE,∠3=∠4,△FDE≌△ADE（ASA），

∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

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